令人相信,高比拜仁(Kobe Bryant)和他女兒Gianna死於直升機失事七個月 ; 即使NBA季後賽延期,但湖人試圖獲得創紀錄第十七次總冠軍中,球迷們肯定會想到這位天王巨星。

本月,橙縣(Orange County)Don Wagner宣佈8月24日首個年度高比拜仁紀念日(Kobe Bryant Day) ; 他生於8月23日,湖人隊隊中標誌性號碼分是8和24。

Don Wagner表示︰「Kobe Bryant一生面各種挑戰︰他創造、他克服,遇強,像我們每個人 ; 今天我們此慶祝,為克服這些挑戰而努力人們。」

每個數字背後有一個代表人物,看到籃球場上「24」號球衣,想起人是一代傳奇NBA巨星高比拜仁(Kobe Bryant)。高比拜仁於香港時間今晨(27日)乘直升機墜機身亡,終年41歲。一代巨星離世消息震撼全球,球迷留言悼念,有人重提他8號轉至穿着24號球衣謎團。

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計算

n
!

{\displaystyle n!}

時,若

n

{\displaystyle n}

,普通科學計算機可以計算,能夠處理超過

10

100

{\displaystyle 10^{100}}

(古高爾)數值計算機可以計算

69
!

{\displaystyle 69!}

,而雙精度浮點數計算機可計算至

170
!

{\displaystyle 170!}

直至2006年公佈改穿24號球衣,轉會下改號碼情況球壇,但當時他此事願多談,引來揣測。當時其中一個Kobe鍾愛24號説法是,Kobe高中加入籃球隊時,選擇了24號球衣,不過一個賽季後改穿了33號,其後加入湖人有隊友穿着,故未有機會改號。

數學中,整數階乘(英語:Factorial)是所有於於該數數積,計為

n
!

n!

,例如5階乘表示為

5
!

{\displaystyle 5!}

,其值為120:

並定義,1階乘

1
!

{\displaystyle 1!}

和0階乘

0
!

{\displaystyle 0!}

1,其中0階乘表示一個空積[2]。

1808年,基斯頓·卡曼引進這個表示法:

n
!
=

k
=
1

n

k


n

1

n!=\prod _{k=1}^{n}k\quad \forall n\geq 1

,符號

Π
\Pi

表示乘積,即

n
!
=
1
×
2
×
3
×

×
n

{\displaystyle n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n}

。階乘可以遞歸方式定義:

0
!
=
1

0!=1

n
!
=
(
n

1
)
!
×
n

{\displaystyle n!=(n-1)!\times n}

。數之外,階乘亦可定義於整個實數(負整數除外),其伽瑪函數關係:

階乘應用許多數學領域中,應用組合數學、代數學和數學分析中。組合數學中,階乘代表意義

n
n

個物件任意排列數量,例如前述例子,

5
!
=
120

{\displaystyle 5!=120}

其代表了5個物件共有120種排列法。數情形下,

n
n

階乘可以稱為n排列數。

早在12世紀,印度學者已有使用階乘概念來計算排列數紀錄[3]。1677年時,法比安·斯特德曼使用Change ringing(英語:Change ringing)來解釋階乘概念[5]。描述遞歸方法後,斯特德將階乘描述為:「現在這些方法本質是這樣:一個數字變化數包含了所有他數字(包括本身)所有變化數……因為一個數字完全變化數是數字變化數視一個整體,並透過所有數字變化聯合起來。」,其原文如下:

從上述公式中,可以推導出遞歸關係式:

但遞歸定義出base case,因此需要定義零階乘。
除此之外,遞歸關係階乘函數中各個值成立,例如:

遞歸關係式擴展到

n
=
0

n=0

,因此需要定義0階乘:

n
!

n!

可質因子分解為

p

n

p

r
=
1

n

[

n

p

r

]

\prod _{p\leq n}p^{\sum _{r=1}^{n}[{\frac {n}{p^{r}}}]}

,如

6
!
=

2

4

×

3

2

×

5

1

{\displaystyle 6!=2^{4}\times 3^{2}\times 5^{1}}

。[9]

{

(
2
n

1
)
!
!
=
1
×
3
×
5
×

×
(
2
n

1
)

(
2
n
)
!
!
=
2
×
4
×
6
×

×
(
2
n
)

,
n

N

{\displaystyle {\begin{cases}(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times \cdots \times (2n-1)\\(2n)!!=2\times 4\times 6\times \cdots \times (2n)\end{cases}},n\in \mathbb {N} }

n

{\displaystyle n}

時,可用斯特林公式估計:

n
!

2
π
n

(

n
e

)

n

{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}

估計是:

n
!
=

2
π
n

(

n
e

)

n

e

λ

n

{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda _{n}}}

其中

1

12
n
+
1

< λ n < 1 12 n {\displaystyle {\frac {1}{12n+1}}<\lambda _{n}<{\frac {1}{12n}}}

階乘原始定義是整數,離散,然而部分領域如概率論要探討到或其他需求(如組合數當取出數量於原有數量會出現負階乘)時,則需要將階乘整數推廣到實數,是複數。

非負整數之外,還可以非整數值定義階乘函數,但這需要使用高級數值分析方法。

可以透過插值方式將階乘兩整數之間填入數值,但其插入數值要滿足階乘遞歸定義。一個插值結果是

Γ

{\displaystyle \Gamma }

函數,其所有非負整數和複數出了定義,而當

z

{\displaystyle z}

實部正時,可以透過下列瑕積分來計算

Γ

{\displaystyle \Gamma }

函數值:

右圖顯示了幾個模(值)

ρ

{\displaystyle \rho }

輻角

φ

{\displaystyle \varphi }

幾個等級,圖表繪製範圍


3

x

3

{\displaystyle -3\leq x\leq 3}

,


2

y

2

{\displaystyle -2\leq y\leq 2}

個單位。鉛直線輻角值

φ
=
±
π

{\displaystyle \varphi =\pm \pi }

等值線。

細線表示模或輻角相等函數值位置。每個負整數位置點,無法定義其模和輻角,並且異點地方,等值線密度密集。

|z| < 1時,可使用泰勒級數來計算:

其中,γ為歐拉-馬斯刻若尼常數

部分計算機代數系統存在可以直接產生這些展開式系數語法,例如SageMath。

階乘值可透過雙伽瑪函數積分分數來,這個方法由T. J. Stieltjes於1894提出。

將階乘寫

z
!
=

e

P
(
z
)

{\displaystyle z!=e^{P(z)}}

,其中

P
(
z
)

{\displaystyle P(z)}

為:

延伸閱讀…

【高比拜仁】824紀念日24的意義:廿四小時每分鐘都不能鬆懈

【高比拜仁墜機亡】球衣由8號轉24號數字對Kobe有何隱藏意義?

但於此定義下計算負一階乘會出現除以零(即

(
0

1
)
!
=

0
!

0

{\displaystyle (0-1)!={\frac {0!}{0}}}

),因此無法直接出負整數階乘。

透過伽瑪函數或其展開式可以將階乘擴展到其他能定義加法和乘法基本運算數學結構,如矩陣[11]。

並且

Γ
(
I
)
=
I

{\displaystyle \Gamma (I)=I}

,其中,

I

{\displaystyle I}

是單位矩陣、

A

{\displaystyle A}

是一個方陣,同時

A
!

{\displaystyle A!}

是一個非奇異矩陣[12]。

換句話説,即矩陣

A

{\displaystyle A}

單位矩陣純量

n

{\displaystyle n}

倍,其階乘

A
!
=
(
n
I
)
!
=
n
!
I

{\displaystyle A!=(nI)!=n!I}

,例如

(

n

0

0

n

)

!
=
n
!
I
=

(

n
!

0

0

n
!

)

{\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}n&0\\0&n\end{smallmatrix}}{\bigr )}!=n!I={\bigl (}{\begin{smallmatrix}n!&0\\0&n!\end{smallmatrix}}{\bigr )}}

其中,

λ

1

{\displaystyle \lambda _{1}}

λ

2

{\displaystyle \lambda _{2}}

(

a
+
1

b

c

d
+
1

)

{\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}a+1&b\\c&d+1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}

特徵值,

λ

1

=
1
+

(

a
+
d

Ω

)

2

{\displaystyle \lambda _{1}=1+{\begin{smallmatrix}{\frac {\left(a+d-\Omega \right)}{2}}\end{smallmatrix}}}

λ

2

=
1
+

(

a
+
d
+
Ω

)

2

{\displaystyle \lambda _{2}=1+{\begin{smallmatrix}{\frac {\left(a+d+\Omega \right)}{2}}\end{smallmatrix}}}

,其中,

Ω
=

(
a

d

)

2

+
4
b
c

{\displaystyle \Omega ={\begin{smallmatrix}{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}\end{smallmatrix}}}

[12]

階乘定義可推廣到複數,其伽瑪函數關係:

伽瑪函數滿足

Γ
(
n
+
1
)
=
(
n
)
Γ
(
n
)

{\displaystyle \Gamma (n+1)=(n)\Gamma (n)}

另一種定義擴展是阿達馬伽瑪函數,但於其所有實數上能滿足階乘遞歸定義,只有在數上滿足階乘遞歸定義

n
!
=
n
×
(
n

1
)
!

{\displaystyle n!=n\times (n-1)!}

因此拿出來討論。

其後面項

1

Γ
(
1

x
)

{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1-x)}}}

只有在整數情形零。因為其有加上一項,因此,此擴展描述負階會有除以零情況,而使阿達馬伽瑪函數是一個處處、異點函數。

整數雙階乘表示於於該數所有具奇偶性數乘積,即:

{

(
2
n

1
)
!
!
=
1
×
3
×
5
×

×
(
2
n

1
)

(
2
n
)
!
!
=
2
×
4
×
6
×

×
(
2
n
)

,
n

N

{\displaystyle {\begin{cases}(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times \cdots \times (2n-1)\\(2n)!!=2\times 4\times 6\times \cdots \times (2n)\end{cases}},n\in \mathbb {N} }

延伸閱讀…

【福音ㄅㄆㄇ】聖經中的數目

階乘

無視上述定義

n
!
!

{\displaystyle n!!}

因為即使值

N

{\displaystyle N}

,雙階乘為奇數可擴展到數和複數

z

{\displaystyle z}

注意到,當

z

{\displaystyle z}

是一個正的奇數:

上式

(
2
n
)
!
!

{\displaystyle (2n)!!}

原始定義,廣義雙階乘

(
2
n
)
!
!

{\displaystyle (2n)!!}

計算上包含

0
!
!

{\displaystyle 0!!}

,即

使用它定義,半徑

R

{\displaystyle R}

n維超球其體積可表示為:

n

!

(
k
)

{\displaystyle n!^{(k)}}

稱為

n

{\displaystyle n}

k

{\displaystyle k}

重階乘,定義:

十二平均律(英語:Equal temperament),稱十二程律,音樂律式一種,是當今主流律式。一個八度分成十二份,每分稱半音,音高八度音指是頻率二倍。八度音頻率分為十二分,即是分為十二項的數列,每個音頻率前一個音212次方根倍:

公元400年左右,中國南朝數學家何承天提出世界歷史上有記載十二平均律數列 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450(原文:……黃鐘長九寸,簇長八寸二釐,林鐘長六寸一釐,應鐘長四寸七分九釐)[1]。

意大利物理學家伽利略·伽利萊父親温琴佐·伽利萊(英語:Vincenzo Galilei)試圖解決十二平均率問題,但他用倍率是18:17,而不是

2

12

{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}

,因此自乘12次後只得1.98556,不是2,他系統只可算十二音階律[2]。

1605年荷蘭數學家西蒙·斯特芬一篇完成手稿「Van de Spiegheling der singconst」[3]提出

1

/

2

12

{\displaystyle {\sqrt[{12}]{1/2}}}

計算十二平均律,但計算精度不夠,他算出的弦長數字,有些偏離正確數字一二單位多[4]。

西蒙·斯特芬頻率,每音一率,且各不相同,這是[6]。

中國明代音樂家朱載堉於萬曆十二年(1584年)首次提出「新法密率」(見《律呂精義》、《樂律全書》),推算出比率

2

12

{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}

將八度音分為十二等分算法,並製造出十二平均律律管及律準,是世界上十二平均律樂器。他用九九八十一位算盤計算出來準確到25位數字新法密率:

朱載堉了驗證創十二平均律理論,計算出所需長度和律管內徑,選用上竹子,數據截取所需長度,數據鏇出內徑,創製世界上十二平均律律管36,新法密率倍率管12、正律管12根和半律管12[7]。選上竹子製造,金門竹、班竹或紫竹可,而當時朱載堉採是江南出產筆管竹。

倍率黃鐘管的內逕取五寸,下一根竹管內徑上根竹管直徑除以

2

24

{\displaystyle {\sqrt[{24}]{2}}}

倍率黃鐘管的內逕取五寸,下一根竹管內徑上根竹管直徑除以

2

24

{\displaystyle {\sqrt[{24}]{2}}}

朱載堉依他十二平均律發明新法密率理論,創製一種律。桐木製作,琴身四分,張琴絃12,琴底藏一根黃鐘律管,來定黃鐘[8]。

16世紀末葉中外交通方興未艾,1580年開始,明朝廣東承宣布政使司每兩年廣州舉辦一次時數周交易會,屆時東西商人和傳教士會交流貨物和思想;[9]朱載堉刊行十二平均律學説時,正值耶穌會意大利傳教士利馬竇來華時,利馬竇其私人日記裏提到朱載堉的曆法理論,利馬竇本人是天文學和數學,很可能知道朱載堉

2

12

{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}

來解決春分與夏至三個月之間比率:無獨有偶,利馬竇是法國位居高位科學家馬蘭·梅森 (Pere Marin Mersenne)朋友,他們有學術興趣,因此卓仁祥認為,他們交往過程中,利馬竇將朱載堉獲得

2

12

{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}

=1.059463094359295264561825 傳達梅森。1638年梅森出版《和諧音概論(英語:Harmonie universelle)》,書中西方世界第一次出現1.059463 這個數字,在此之前西方無人知道這個數字[2]。

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